Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0
Chứng minh rằng nếu lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 = L thì hàm số f(x) liên tục tại điểm x 0
Đặt g ( x ) = f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 - L và biểu diễn f(x) qua g(x)
Những câu hỏi liên quan
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm \(x_0\)
Chứng minh rằng nếu \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=L\) thì hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục tại điểm \(x_0\) ?
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞)
Chứng minh rằng nếu lim x → + ∞ f ( x ) = - ∞ thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc (a; +∞) sao cho f(c) < 0
Cho hai hàm số y f(x) và y g(x) cùng xác định trên khoảng (−∞;a). Dùng định nghĩa chứng minh rằng, nếu
lim
x
→
-
∞
f
(
x
)
L
v
à
lim
x
→
-
∞
g
(
x
)...
Đọc tiếp
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) cùng xác định trên khoảng (−∞;a). Dùng định nghĩa chứng minh rằng, nếu
lim x → - ∞ f ( x ) = L v à lim x → - ∞ g ( x ) = M
thì lim x → - ∞ f ( x ) . g ( x ) = L . M
Giả sử ( x n ) là dãy số bất kì thoả mãn n < a và x n → − ∞
Vì 
nên 
Vì 
nên 
Do đó, 
Từ định nghĩa suy ra 
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho khoảng K,
x
0
∈
K
và hàm số y f(x) xác định trên
K
x
0
Chứng minh rằng nếu
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
+
∞
t...
Đọc tiếp
Cho khoảng K, x 0 ∈ K và hàm số y = f(x) xác định trên K \ x 0
Chứng minh rằng nếu lim x → x 0 f ( x ) = + ∞ thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc sao cho f(c) > 0
Vì 
nên với dãy số ( x n ) bất kì, x n ∈ K \ x 0 và x n → x 0 ta luôn có
Từ định nghĩa suy ra f ( x n ) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 1 thì f ( x n ) > 1 kể từ một số hạng nàođó trởđi.
Nói cách khác, luôn tồn tạiít nhất một số x k ∈ K \ x 0 sao cho f ( x k ) > 1 .
Đúng 0
Bình luận (0)
SGK Cánh Diều
13 tháng 8 2023 lúc 22:33
Cho hai hàm số f(x);,g(x) xác định trên khoảng (a; b), cùng có đạo hàm tại điểm {x_0} in (a;b)a) Xét hàm số h(x) f(x) + g(x);,,x in (a;b). So sánhmathop {lim }limits_{Delta x to 0} frac{{h({x_0} + Delta x) - h({x_0})}}{{Delta x}} và mathop {lim }limits_{Delta x to 0} frac{{g({x_0} + Delta x) - f({x_0})}}{{Delta x}} + mathop {lim }limits_{Delta x to 0} frac{{f({x_0} + Delta x) - g({x_0})}}{{Delta x}}b) Nêu nhận xét về h({x_0}) và f({x_0}) + g({x_0})
Đọc tiếp
Cho hai hàm số \(f(x);\,g(x)\) xác định trên khoảng (a; b), cùng có đạo hàm tại điểm \({x_0} \in (a;b)\)
a) Xét hàm số \(h(x) = f(x) + g(x);\,\,x \in (a;b)\). So sánh
\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{h({x_0} + \Delta x) - h({x_0})}}{{\Delta x}}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{g({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - g({x_0})}}{{\Delta x}}\)
b) Nêu nhận xét về \(h'({x_0})\) và \(f'({x_0}) + g'({x_0})\)
a) Ta có: \(\Delta x = x - {x_0},\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{h({x_0} + \Delta x) - h({x_0})}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{h\left( x \right) - h\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x) + g(x) - f({x_0}) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{g(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{g\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}} + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\end{array}\)
b) \(h'({x_0})\) = \(f'({x_0}) + g'({x_0})\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho hai hàm số yfleft(xright) và ygleft(xright) cùng xác định trên khoảng left(-infty;aright). Dùng định nghĩa chứng minh rằng nếu limlimits_{xrightarrow-infty}fleft(xright)L và limlimits_{xrightarrow-infty}gleft(xright)M thì limlimits_{xrightarrow-infty}fleft(xright).gleft(xright)L.M
Đọc tiếp
Cho hai hàm số \(y=f\left(x\right)\) và \(y=g\left(x\right)\) cùng xác định trên khoảng \(\left(-\infty;a\right)\). Dùng định nghĩa chứng minh rằng nếu \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=L\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}g\left(x\right)=M\) thì \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right).g\left(x\right)=L.M\)
Cho hàm số y f(x) xác định trên khoảng (a;b) và {x_0} in (a;b). Điều kiện cần và đủ để hàm số y f(x) liên tục tại {x_0} là:A. mathop {lim }limits_{x to x_0^ + } f(x) fleft( {{x_0}} right). B. mathop {lim }limits_{x to x_0^ - } f(x) fleft( {{x_0}} right).C. mathop {lim }limits_{x to x_0^ + } f(x) mathop {lim }limits_{x to x_0^ - } f(x). D. mathop {lim }limits_{x to x_0^ + } f(x) mathop {lim }limits_{x to x_0^ - } f(x) fleft( {...
Đọc tiếp
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) và \({x_0} \in (a;b)\). Điều kiện cần và đủ để hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \({x_0}\) là:
A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = f\left( {{x_0}} \right)\).
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = f\left( {{x_0}} \right)\).
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x)\).
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Theo lí thuyết ta chọn đáp án D.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho hàm số
y
f
x
xác định, có đạo hàm trên đoạn
a
;
b
(với
a
b
). Xét các mệnh đề sau: i) Nếu
f
x...
Đọc tiếp
Cho hàm số y = f x xác định, có đạo hàm trên đoạn a ; b (với a < b ). Xét các mệnh đề sau:
i) Nếu f ' x > 0 , ∀ x ∈ a ; b thì hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng a ; b .
ii) Nếu phương trình f ' ( x ) = 0 có nghiệm x 0 thì f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x 0 .
iii) Nếu f ' x ≤ 0 , ∀ x ∈ a ; b thì hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng a ; b .
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
A. 2
B. 3
C. 0
D. 1
Chọn D
i) Đúng.
ii) Sai, ví dụ: Xét hàm số
Ta có f ' x = x 2 - 2 x + 1 .
Cho f ' ( x ) ⇔ x = 1 .
Khi đó phương trình f ' ( x ) = 0 có nghiệm x 0 = 1 nhưng đây là nghiệm kép nên không đổi dấu khi qua x 0 .
iii) Sai, vì: Thiếu điều kiện f ' ( x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm.
Vậy có 1 mệnh đề đúng.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K chứa a, hàm số f(x) liên tục tại
x
a
nếu A. f(x) có giới hạn hữu hạn khi
x
→
a
B.
lim
x
→
a
+
f
x
lim
x
→
a...
Đọc tiếp
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K chứa a, hàm số f(x) liên tục tại x = a nếu
A. f(x) có giới hạn hữu hạn khi x → a
B. lim x → a + f x = lim x → a − f x = a
C. lim x → a + f x = lim x → a − f x = + ∞
D. lim x → a f x = f a